Russian Mathematical Olympiad

Заметим сначала, что для любых различных чисел $x$ и $y$ выполняется неравенство
$$x^2 - xy + y^2 > |xy| \quad (1)$$
В самом деле, если $|xy| = xy$, то неравенство (1) равносильно неравенству $(x - y)^2 > 0$, которое верно; если же $|xy| = -xy$, то (1) равносильно неравенству $x^2 + y^2 > 0$.

Предположим, что $abc \neq 0$. Тогда, разделив второе равенство на первое, мы получаем
$$(a^2 - ab + b^2)(b^2 - bc + c^2)(c^2 - ca + a^2) = a^2b^2c^2 = |ab| \cdot |bc| \cdot |ac|.$$
Однако все скобки слева и все сомножители справа положительны; при этом каждый сомножитель слева не меньше соответствующего сомножителя справа. Тогда равенство может достигаться лишь тогда, когда все эти три неравенства обращаются в равенства, т. е. когда $a = b = c$. В этом случае первое равенство из условия принимает вид $8a^3 = a^3$, что невозможно при $a \neq 0$. Значит, наше предположение неверно, и $abc = 0$.