Answer. No.
If the table contains $k$ odd numbers, then the parity of a new one coincides with the parity of $\binom{k}{12}$; so, on the first four minutes $k$ increases by 1, and then it is always equal to 32. Consider any $n \ge 4$. Let $E_n$ ($T_n$) be the sum of products of all 11-tuples (12-tuples) of the numbers. $E_n \equiv \binom{32}{11} \equiv 0 \pmod{2}$ for $n \ge 4$. The new number will be $T_n E_n$, so $T_{n+1} = T_n(1+E_n)$, and the power of 2 in its expansion is the same as that of $T_n$. Choosing $d$ so that $2^d$ is greater than $T_4$, we obtain that no $T_n$ will be divisible by $2^d$.

Ответ. Нет, нельзя.
Если в некоторый момент среди чисел на карточках есть ровно $k$ нечётных, то среди произведений чисел по 12 ровно $C_{12}^k$ нечётных; поэтому число на очередной добавляемой карточке будет нечётным ровно тогда, когда $C_{12}^k$ нечётно (и тогда $k$ в эту минуту увеличится на 1).
Нетрудно заметить, что число $C_{28}^{12}$ нечётно (это следует из того, что степени двойки, входящие в $28 \cdot 27 \cdots 17$ и $12 \cdot 11 \cdots 1$, равны). Далее, поскольку $C_{28+t}^{12} = \frac{(28+1)(28+2)\cdots(28+t)}{(16+1)(16+2)\cdots(16+t)} \cdot C_{28}^{12}$, получаем, что наименьшее $t$, при котором $C_{28+t}^{12}$ чётно, равно 4.
Итак, количество нечётных чисел на карточках будет расти, пока не достигнет 32 (на 4-й минуте), а после этого на карточках всегда будет ровно 32 нечётных числа.
Рассмотрим числа на карточках после $n \ge 4$ минут. Пусть $T_n$ — сумма всех произведений 12 из этих чисел, а $E_n$ — сумма всех произведений 11 из этих чисел. Число $T_{n+1}$ отличается от $T_n$ прибавлением всех произведений по 12 чисел, среди которых есть только что добавленное, то есть прибавлением $T_n E_n$; итак, $T_{n+1} = T_n + E_n T_n = T_n(1+E_n)$. Заметим при этом, что $E_n = C_{32}^{11} \pmod{2}$ при $n \ge 4$, а число $C_{32}^{11} = \frac{12}{21} \cdot C_{32}^{12}$ чётно. Значит, при $n \ge 4$ число $1+E_n$ нечётно, и степень двойки, на которую делится $T_{n+1}$, равна степени двойки, на которую делится $T_n$.
Выберем теперь $d$ так, чтобы после пятой минуты ни одно из чисел на карточках не делилось на $2^d$; в частности, только что добавленное число $T_4$ также не будет делиться на $2^d$. Значит, и все числа $T_5, T_6, \dots$ не будут делиться на $2^d$, а это в точности числа, написанные на карточках, добавляемых после пятой минуты. Итак, на карточках никогда не появится числа, делящегося на $2^d$.