Library / Ukrainian Mathematical Olympiad, Final Round /11 of 16

Ukrainian Mathematical Olympiad, Final Round

Geometry Difficulty 5.6 AIME, harder Prove it Ukraine

A convex quadrilateral $ABCD$ with $BC = CD$ , $\angle CBA + \angle DAB > 180^\circ$ is given. Let the points $W$ and $Q$ (different from the quadrilateral's vertices) belong to the sides $BC$ and $DC$ respectively, and let $AD = QD$ , $WQ \parallel AD$ . It is known that the intersection point $M$ of segments $AQ$ and $BD$ is equidistant from the lines $AD$ and $BC$ . Prove that $\angle BWD = \angle ADW$ .

Solution

Нехай $F$ — точка перетину прямих $BC$ і $AD$ (точки $F$ і $S$ лежать по різні боки від прямої $AB$ ). Проведемо через точку $D$ пряму $\ell \parallel BC$ . Позначимо через $S$ точку перетину прямих $WQ$ та $\ell$ . Легко бачити, що $QM$ і $DM$ є бісектрисами зовнішніх кутів трикутника $SDQ$ . Звідси випливає, що $SM$ — бісектриса кута $WSD$ . Із умови задачі випливає, що $FM$ — бісектриса кута $WFD$ . Оскільки чотирикутник $FWSD$ є паралелограмом і бісектриси його протилежних кутів $F$ і $S$ мають спільну точку $M$ , то прямі $FM$ і $SM$ збігаються. Отже, $FWSD$ — ромб. Звідси й отримуємо твердження задачі.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.