Пусть $N$ — середина стороны $AC$, а $K$ — точка на прямой $MN$ такая, что $MK = MN$. Тогда треугольники $MNC$ и $MKB$ симметричны относительно $M$ и потому равны. Проведём разрез по средней линии $MN$; переложив треугольник $MNC$ так, чтобы он совпал с $\triangle MKB$, получаем параллелограмм $ANKB$ (см. рис. 16). Если $AN = AB$, то ромб уже получен.

Пусть $AN < AB$ (см. рис. 17). Проведём окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$. Тогда точка $N$ лежит внутри окружности, а $M$ — вне, поэтому окружность пересечёт отрезок $NM$ в точке $P$. Отрезав от параллелограмма $ANKB$ треугольник $APN$ и сдвинув его так, чтобы сторона $AN$ совпала с $BK$, мы получим ромб.

Пусть, наконец, $AN > AB$. Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, основание $H$ высоты $CH$ лежит на отрезке $AB$ (см. рис. 16). Далее, основание $T$ перпендикуляра, опущенного из $N$ на $AB$, есть середина отрезка $AH$; значит, $BT > AT$, а тогда $BN > AN$. Значит, окружность с центром в точке $B$ и радиусом $AN$ пересечёт сторону $AN$ в точке $S$, ибо точка $N$ лежит вне, а точка $A$ — внутри этой окружности (см. рис. 18). Отрезав от параллелограмма треугольник $ABS$ и сдвинув его до совмещения стороны $AB$ со стороной $NK$, мы получим ромб.

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18