Ответ. $a = \frac{k}{3}$, где $k$ — любое целое число.

Подставив $n = 1$ и $n = 2$, получаем, что числа $15a$ и $48a$ — целые. Значит, и число $48a - 3 \cdot 15a = 3a$ — тоже целое. Таким образом, $a = k/3$ для некоторого целого $k$.

Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чётных (или нечётных) чисел $n, n + 2, n + 4$ делится на $3$; значит, $n(n + 2)(n + 4)$ делится на $3$, а поэтому $a n(n + 2)(n + 4) = k \frac{n(n + 2)(n + 4)}{3}$ — целое число.