Russia — Regional Round

Пронумеруем числа по часовой стрелке $a_1, a_2, \dots, a_{100}$ так, чтобы число $a_{100}$ было наименьшим. Тогда остаток от деления $a_{100}$ на $a_1$ будет равен $a = a_{100}$ (ибо $a_1 > a_{100}$), а остаток $b$ от деления $a_{99}$ на $a_{100}$ будет меньше, чем $a_{100}$. Значит, $a > b$ — единственные остатки, полученные Васей.

Предположим, что $a_i < a_{i+1}$ при некотором $i < 100$. Тогда остаток от деления $a_i$ на $a_{i+1}$ равен $a_i$, что больше, чем $a$ (и тем более — чем $b$). Это невозможно. Значит, $a_1 > a_2 > \dots > a_{100}$.

Итак, Петя при делении $a_{i+1}$ на $a_i$ (при любом $i = 1, 2, \dots, 99$) будет получать в остатке $a_{i+1}$, поскольку $a_{i+1} < a_i$. При делении же $a_1$ на $a_{100}$ он получит остаток $c$, меньший $a_{100}$. Значит, все его остатки $c < a_{100} < a_{99} < \dots < a_2$ различны.