Заметим, что точка $I_1$ лежит на биссектрисах $AM_2$ и $BM_4$ углов $BAC$ и $ABD$, поэтому $I_1 = AM_2 \cap BM_4$ (см. рис. 22). Аналогично $I_2 = BM_3 \cap CM_1$, $I_3 = CM_4 \cap DM_2$, $I_4 = DM_1 \cap AM_3$.

Рис. 22

Рис. 23

Поскольку $\overrightarrow{AM_1} + \overrightarrow{CM_3} = \overrightarrow{BM_1} + \overrightarrow{DM_3}$, прямая $M_1M_3$ составляет равные углы с хордами $AC$ и $BD$; следовательно, прямая $M_1M_3$ параллельна биссектрисе угла $AKB$, то есть прямой $I_1I_3$. Аналогично, $M_2M_4 \parallel I_2I_4 \perp I_1I_3$ (поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны).

Если прямые $I_1I_3$ и $M_1M_3$, а также $I_2I_4$ и $M_2M_4$ совпадают, утверждение задачи очевидно. Пусть, скажем, точка $I_1$ не лежит на прямой $M_1M_3$. Обозначим $A' = DM_1 \cap BM_4$, $B' = AM_2 \cap CM_1$, $C' = BM_3 \cap DM_2$, $D' = AM_3 \cap CM_4$. Имеем $\angle BM_1M_2 = \angle CM_1M_2$ и $\angle BM_2M_1 = \angle AM_2M_1$, поэтому треугольники $M_1M_2B$ и $M_1M_2B'$ симметричны относительно прямой $M_1M_2$. Отсюда $M_2B' = M_2B$. Аналогично $M_2C' = M_2C$, и из $M_2B = M_2C$ получаем $M_2B' = M_2C'$. Поскольку $\angle AM_2M_4 = \angle DM_2M_4$, прямая $M_2M_4$ является биссектрисой (и, значит, высотой) равнобедренного треугольника $M_2B'C'$. Таким образом, $B'C' \perp M_2M_4$, поэтому $B'C' \parallel M_1M_3 \parallel I_1I_3$.

Пусть прямая $M_2I_2$ пересекает отрезки $B'C'$, $I_1I_3$ и $M_1M_3$ соответственно в точках $X, Y, Z$ (см. рис. 23). Рассматривая гомотетии с центрами $I_2$ и $M_2$, получаем: $\frac{M_1Z}{M_3Z} = \frac{B'X}{C'X} = \frac{I_1Y}{I_3Y}$.

Пусть $P = M_1I_1 \cap M_3I_3$. Если прямая $PY$ пересекает $M_1M_3$ в точке $Z'$, то из гомотетии с центром $P$ получаем: $\frac{M_1Z'}{M_3Z'} = \frac{I_1Y}{I_3Y}$. Значит, $Z'$ совпадает с $Z$. Получаем, что точка $P$ лежит на прямой $M_2I_2$. Аналогично, $P$ лежит на прямой $M_4I_4$, то есть все четыре прямые $M_1I_1, M_2I_2, M_3I_3, M_4I_4$ пересекаются в точке $P$.

Замечание 1. Точки $A', B', C', D'$ являются центрами окружностей, вписанных в треугольники $ABD, BAC, CBD, DAC$ соответственно.