Если Петя выберет числа $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4(n-1)}, \frac{1}{4(n-1)}, \dots, \frac{1}{4(n-1)}$, то, как бы ни расставлял эти числа Вася, число $\frac{1}{2}$ будет в одной паре с числом $\frac{1}{4(n-1)}$. Значит, одно из произведений будет равно $\frac{1}{8(n-1)}$, а остальные будут не больше него. Тогда на доске окажется число $\frac{1}{8(n-1)}$.

Покажем, как Вася может для любых чисел получить на доске число, не большее $\frac{1}{8(n-1)}$. Перенумеруем числа в порядке убывания: $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_{2n}$. Поставим в какое-то место на круге число $x_1$, от него по часовой стрелке через пустые места числа $x_2, x_3, \dots, x_n$. Теперь поставим число $x_{2n}$ между $x_1$ и $x_n$; дальше по часовой стрелке от $x_{2n}$ расставим на пустых местах по очереди числа $x_{2n-1}, x_{2n-2}, \dots, x_{n+1}$. Тогда произведениями пар соседних чисел будут: $x_n x_{2n}$,
$x_1 x_{2n}, x_2 x_{2n-1}, x_3 x_{2n-2}, \dots, x_k x_{2n-k+1}, \dots, x_n x_{n+1}$ и
$x_1 x_{2n-1}, x_2 x_{2n-2}, x_3 x_{2n-3}, \dots, x_k x_{2n-k}, \dots, x_{n-1} x_{n+1}$.
Поскольку $x_k x_{2n-k+1} \le x_k x_{2n-k}$, наибольшее произведение может быть лишь во второй строке.
Покажем, что $a = x_k x_{2n-k} \le \frac{1}{8(n-1)}$ при $k \le n-1$. Действительно, из неравенств $x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1$ следует, что $k x_k \le x_1 + x_2 + \dots + x_k$, поэтому
$$ka = k x_k \cdot x_{2n-k} \le (x_1 + x_2 + \dots + x_k) x_{2n-k}.$$
Аналогично из неравенств
$$x_{2n-k} \le x_{2n-k-1} \le x_{2n-k-2} \le \dots \le x_{k+1} \\ \text{следует, что} \\ (2n-2k)x_{2n-k} \le x_{2n-k} + x_{2n-k-1} + \dots + x_{k+1} \le \\ \le x_{k+1} + x_{k+2} + \dots + x_{2n} = 1 - x_1 - x_2 - \dots - x_k.$$
Поэтому
$$2k(n-k)a \le (x_1 + x_2 + \dots + x_k) (1 - x_1 - x_2 - \dots - x_k) = x(1-x), \\ \text{где } x = x_1+x_2+\dots+x_k. \text{ Поскольку по неравенству о средних для} \\ \text{двух чисел } x(1-x) \le \left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \text{ получаем неравенство} \\ x_k x_{2n-2k} = a \le \frac{1}{8k(n-k)}. \text{ Осталось показать, что } k(n-k) \ge n-1 \\ \text{при } k \le n-1. \text{ Но последнее неравенство можно переписать в} \\ \text{виде } (k-1)(n-k-1) \ge 0, \text{ а обе скобки в последней формуле} \\ \text{неотрицательны.}$$

Замечание. Оптимальная расстановка для Васи не единственна. Однако можно доказать, что при любом $k = 1, 2, \dots, n-1$ в любой Васиной расстановке среди произведений пар соседних чисел найдётся число, не меньшее $x_k x_{2n-k}$; поэтому оптимальными для Васи окажутся расстановки, в которых наибольшее произведение имеет такой вид.

Ответ. $\frac{1}{8(n-1)}$.