Если Петя выберет числа $\frac{1}{2}, \frac{1}{198}, \frac{1}{198}, \dots, \frac{1}{198}$, то, как бы ни разбивал эти числа Вася, в паре с числом $\frac{1}{2}$ будет число $\frac{1}{198}$.
Их произведение будет равно $\frac{1}{396}$, а остальные будут не больше него. Тогда на доске окажется число $\frac{1}{396}$.

Покажем, как Васе для любых Петиных чисел получить на доске число, не большее $\frac{1}{396}$. Перенумеруем числа в порядке невозрастания: $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_{100}$. Разобьём числа на пары следующим образом: $x_k$ в паре с $x_{101-k}$. Тогда произведениями чисел в парах будут
$$x_1x_{100}, x_2x_{99}, x_3x_{98}, \dots, x_kx_{101-k}, \dots, x_{50}x_{51}.$$
Покажем, что $a = x_kx_{101-k} \le \frac{1}{396}$ при $k \le 49$. Действительно, из неравенств $x_k \le x_{k-1} \le \dots \le x_1$ следует, что $kx_k \le x_1 + x_2 + \dots + x_k$, поэтому
$$ka = kx_k \cdot x_{101-k} \le (x_1 + x_2 + \dots + x_k)x_{101-k}.$$
Аналогично из неравенств $x_{101-k} \le x_{100-k} \le x_{99-k} \le \dots \le x_{k+1}$ следует, что
$$(101 - 2k)x_{101-k} \le x_{101-k} + x_{100-k} + \dots + x_{k+1} \le \\ \le x_{k+1} + x_{k+2} + \dots + x_{100} = 1 - x_1 - x_2 - \dots - x_k.$$
Поэтому
$k(101-2k)a \le (x_1+x_2+\dots+x_k)(1-x_1-x_2-\dots-x_k) = x(1-x)$, где $x = x_1+x_2+\dots+x_k$. Поскольку по неравенству о средних для двух чисел $x(1-x) \le \left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, получаем неравенство
$x_kx_{101-k} = a \le \frac{1}{4k(101-2k)}$. Осталось доказать, что $k(101 - 2k) \ge 99$ при $k \le 49$. Это неравенство можно переписать в виде $(k-1)(99-2k) \ge 0$, и обе скобки в последней формуле неотрицательны.

Осталось доказать, что $x_{50}x_{51} \le \frac{1}{396}$. Поскольку $x_{50} \le x_{49} \le x_{48} \le \dots \le x_2 \le x_1$, имеем
$$x_{50} \le \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{50}}{50} \le \frac{1}{50}$$
и, аналогично,
$$x_{51} \le \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{51}}{51} \le \frac{1}{51}.$$
Следовательно, $x_{50}x_{51} \le \frac{1}{50 \cdot 51} < \frac{1}{396}$.