Обозначим через $\Gamma'$ окружность, описанную около треугольника $BHC$ (см. рис. 1). На касательной к $\Gamma'$ в точке $H$ отметим точку $X$, лежащую внутри угла $BCH$. Тогда $\angle BHX = \angle BCH = \angle B_1C_1H$ (последнее равенство следует из того, что $BC \parallel B_1C_1$). Значит, окружность $\omega$ касается прямой $HX$ и окружности $\Gamma'$ в точке $H$.

Рис. 1

Обозначим через $H'$ точку, симметричную $H$ относительно прямой $BC$ (как известно, эта точка лежит на окружности $\Gamma$). Итак, при симметрии относительно $BC$ окружность $\Gamma'$ переходит в окружность $\Gamma$, а окружность $\omega$ — в себя, поскольку центр $\omega$ лежит на прямой $BC$. Поскольку $\omega$ касается $\Gamma'$, она касается и $\Gamma$, что и требовалось доказать.