Library / Russia — Regional Round /16 of 34

Russia — Regional Round

Geometry Difficulty 5.7 AIME, harder Prove it Russia

The altitudes of an acute-angled triangle $ABC$ meet at $H$ . The points $B_1$ and $C_1$ are chosen on the segments $BH$ and $CH$ , respectively, so that $B_1C_1 \parallel BC$ . It appeared that the center of the circumcircle $\omega$ of $\triangle B_1HC_1$ lies on the line $BC$ . Prove that $\omega$ is tangent to the circumcircle $\Gamma$ of $\triangle ABC$ .

(A. Kuznetsov)

Solution

Обозначим через $\Gamma'$ окружность, описанную около треугольника $BHC$ (см. рис. 1). На касательной к $\Gamma'$ в точке $H$ отметим точку $X$ , лежащую внутри угла $BCH$ . Тогда $\angle BHX = \angle BCH = \angle B_1C_1H$ (последнее равенство следует из того, что $BC \parallel B_1C_1$ ). Значит, окружность $\omega$ касается прямой $HX$ и окружности $\Gamma'$ в точке $H$ .

Рис. 1

Обозначим через $H'$ точку, симметричную $H$ относительно прямой $BC$ (как известно, эта точка лежит на окружности $\Gamma$ ). Итак, при симметрии относительно $BC$ окружность $\Gamma'$ переходит в окружность $\Gamma$ , а окружность $\omega$ — в себя, поскольку центр $\omega$ лежит на прямой $BC$ . Поскольку $\omega$ касается $\Gamma'$ , она касается и $\Gamma$ , что и требовалось доказать.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.