Предположим противное: пусть прямоугольники имели размеры $k \times l$, где $l < k$. Пусть $a_i$ — длина стороны квадрата у $i$-го ребёнка. Тогда каждая сторона прямоугольника составлена из нескольких отрезков длиной $a_i$, то есть $l = b_i a_i$ и $k = c_i a_i$, где $b_i$ и $c_i$ — натуральные числа. При этом у ребёнка получилось $b_i c_i$ квадратиков.

Заметим, что $1 < k/l = c_i/b_i$, то есть число $k/l$ рационально. Пусть $s/t$ — его несократимая запись; тогда $s > 1$, и $c_i$ делится на $s$ при всех $i$. Значит, и число квадратиков у $i$-го ребёнка делится на $s$. Тогда общее число квадратиков $Q$ также делится на $s > 1$, и притом $Q > s$ (поскольку количество детей больше 1). Значит, $Q$ — составное число; противоречие.