Taiwan IMO Selection Camp

$BT/BM = \sqrt{2}$。

令 $S$ 為平行四邊形 $BPTM$ 的中心, 並令點 $B' \neq B$ 是在射線 $BM$ 上滿足 $BM = MB'$ 的點, 如圖 1 所示。易知 $ABCB'$ 為平行四邊形。

圖 1

所以, $\angle ABB' = \angle PQM$, 以及 $\angle BB'A = \angle B'BC = \angle MPQ$, 由此得 $\triangle ABB' \sim \triangle MQP$。於是 $AM$ 與 $MS$ 分別是這兩個相似三角形對應邊的中線。可知

$$\angle SMP = \angle B'AM = \angle BCA = \angle BTA. \quad (1)$$

因為 $\angle ACT = \angle PBT$，以及 $\angle TAC = \angle TBC = \angle BTP$，可得 $\triangle TCA \sim \triangle PBT$。再一次，$TM$ 與 $PS$ 分別是這兩個相似三角形對應邊的中線，可知

$$\angle MTA = \angle TPS = \angle BQP = \angle BMP. \quad (2)$$

以下分兩種情況討論。

Case 1. $S$ 不在 $BM$ 線上。因為 $A$、$C$ 兩點的角色是對稱的, 我們不妨假設 $S$ 與 $A$ 位於 $BM$ 直線的同側。

利用 (1) 及 (2), 得
$$\angle BMS = \angle BMP - \angle SMP = \angle MTA - \angle BTA = \angle MTB,$$
故兩三角形 $BSM$ 與 $BMT$ 相似。於是 $BM^2 = BS \cdot BT = BT^2/2$，即
$$BT = \sqrt{2}BM$$

Case 2. $S$ 落在 $BM$ 線上。由 (2) 知 $\angle BCA = \angle MTA = \angle BQP = \angle BMP$ (如圖 2 所示)。所以 $PQ \parallel AC$, 且 $PM \parallel AT$。於是 $BS/BM = BP/BA = BM/BT$, 一樣得到 $BT^2 = 2BM^2$, 所以 $BT = \sqrt{2}BM$。

圖 2