Solution:

A equação é equivalente a $x y = 19(x + y)$. Uma vez que estamos procurando soluções inteiras e $19$ é um número primo, esta igualdade implica que $x$ ou $y$ devem ser divisíveis por $19$. Como a equação é simétrica em relação às variáveis $x$ e $y$, podemos supor que $x$ é divisível por $19$. Isto é, $x = 19k$ para algum valor inteiro de $k$. Nessa condição, temos:
$$x y = 19(x + y) \quad \Leftrightarrow \quad k y = 19k + y$$
Desta igualdade concluímos que $19k + y$ é divisível por $k$. Uma vez que $19k$ já é divisível por $k$, concluímos que $y$ é divisível por $k$ (prove isso). Isto é, $y = k m$ para algum valor inteiro de $m$. Assim,
$$k y = 19k + y \Rightarrow k^2 m = 19k + k m \Rightarrow k m - m = 19 \Rightarrow m(k - 1) = 19$$
Visto que $m$ e $k$ são números inteiros e $19$ é um número primo, existem somente 4 possibilidades para a igualdade $m(k - 1) = 19$:
- $m = 19$ e $k - 1 = 1$. Isto implica que $x = 38$ e $y = 38$;
- $m = -19$ e $k - 1 = -1$. Isto implica que $x = 0$ e $y = 0$, que não é possível, pois na equação original, $x \neq 0$ e $y \neq 0$;
- $m = 1$ e $k - 1 = 19$. Isto implica que $x = 380$ e $y = 20$;
- $m = -1$ e $k - 1 = -19$. Isto implica que $x = -342$ e $y = 18$.
Deste modo, obtemos as seguintes possibilidades para o par de números inteiros $(x, y)$ que são soluções da equação dada:
$$(38, 38);\ (380, 20);\ (20, 380);\ (-342, 18);\ (18, -342)$$