Given an chessboard. Choose one of its diagonals and call the 8 cells of this diagonal a fence. The Rook starts from an arbitrary square outside the fence and makes some moves so that it does not get to one square twice, and it does not stand on the squares of the fence. Find the maximal possible number of jumps over the fence on the Rook's route. (R. Zhenodarov)
Russian Mathematical Olympiad
Solution
Разделим доску на четыре квадраты . Заметим, что, если ладья прыгает через забор, то либо начальная, либо конечная клетка прыжка отмечена серым на рис. 22. Так как серых клеток 24 и через каждую может проходить максимум два прыжка, то всего может оказаться не более 48 прыжков.
При этом, если их ровно 48, то из каждой серой клетки должно быть сделано два прыжка в белые клетки (в предыдущем подсчете прыжок из серой клетки в серую будет подсчитан два раза!). Тогда все ходы из темно-серых клеток будут вести в белый квадрат под диагональю, а оттуда — только в темно-серые клетки (либо в другие клетки этого же квадрата). Значит, подобным образом ладья никогда не падет в светло-серые клетки. Противоречие; таким образом, количество прыжков не превосходит 47. Один из возможных примеров с 47 прыжками показан на рис. 22 (числа в клетках указывают, в каком порядке ладья по ним проходит).
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.