Library / Russia — Regional Round /23 of 34

Russia — Regional Round

Algebra Difficulty 6.3 National Olympiad Prove it Russia

2009 weights are placed in a row. Each weight is of integer number of grams, and no weight is heavier than 1 kg. It turned out that each neighboring weights differ by exactly 1 g, while the total weight of all weights (in grams) is an even number. Prove that it is possible to partition all the weights into two sets with equal total weights.

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

Solution

Ясно, что веса всех гирь, стоящих на нечётных местах, имеют одинаковую чётность, а веса всех остальных гирь — другую чётность. Так как общий вес чётен, то 1005 гирь на нечётных местах имеют чётные веса.

Поставим первую гирьку на левую чашку весов (пусть ее вес равен $2a \le 1000$ г), остальные 2008 гирь разобьём на 1004 пары стоящих рядом гирек (тогда веса гирек в любой паре отличаются на 1 г). Теперь в некоторых ( $502 - a$ ) парах поставим более лёгкие гири каждой пары на правую чашку весов, а более тяжёлые — на левую; в остальных же ( $502 + a$ ) парах поставим лёгкие гири на левую чашку, а тяжёлые — на правую. Тогда разность

суммарных весов гирь на левой и правой чашках будет равна
$2a + (502 - a) - (502 + a) = 0,$
что и требовалось.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.