Answer: $n = 2018$.

Set $k = 2017$. If $n = k + 1$, the assistant merely encodes the color of the last card by choosing which of the others remains open.

Assume that $k \ge n$. A strategy of the prestidigitator and the assistant may be expressed as a set of instructions of the form $(a, i) \to (b, j)$ meaning that a prestidigitator seeing color $a$ at position $i$ claims color $b$ at position $j$. One may assume that all pairs $(a, i)$ are distinct. A counting argument shows that $k = n$, there are $n^2$ instructions, and each two instructions cover disjoint sets of arrangements.

Consider a graph on positions as vertices, an edge connects two positions participating in an instruction. Then each two edges have a common vertex, so all edges have a common vertex (say, $1$). Each position $i > 1$, put into correspondence all colors $a$ such that there exists an instruction of the form $(c, i) \to (a, 1)$. Notice that different positions correspond to different colors; so some position corresponds to one color $a$ only. But then there exists an instruction $(a, 1) \to (c, i)$ for some $c$, which cannot exist simultaneously with $(c, i) \to (a, 1)$.

Ответ: $n = 2018$.

Положим $k = 2017$.
При $n = k+1$ фокус устроить легко. Фокусник и помощник нумеруют цвета числами от $1$ до $k$. Помощник, видя цвет последней, $(k+1)$-й карты (пусть его номер равен $a$), оставляет открытой $a$-ю карту. Фокусник, увидев, какая по номеру карта открыта, восстанавливает цвет последней карты.

Осталось показать, что при $n \le k$ фокус не удастся. Предположим противное и рассмотрим возможные действия фокусника. Пусть, видя на $i$-м месте карту цвета $a$, он объявляет, что на $j$-м месте карта цвета $b$ (тогда $i \ne j$); будем называть это инструкцией $(a, i) \to (b, j)$. Можно считать, что для каждой пары $(a, i)$ существует только одна инструкция вида $(a, i) \to (b, j)$ (и фокусник при возможности всегда применяет её — поскольку никакой информации о том, какую из таких инструкций применять, у него нет). Тогда инструкций не больше, чем $kn$.

Будем говорить, что исходная раскладка карт удовлетворяет инструкции $(a, i) \to (b, j)$, если в ней на $i$-м и $j$-м местах лежат карты цветов $a$ и $b$ соответственно. Тогда каждой инструкции удовлетворяет ровно $k^{n-2}$ раскладок. С другой стороны, если фокус гарантированно удается, то каждая возможная раскладка удовлетворяет хотя бы одной инструкции — той, которую применяют помощник с фокусником. Значит, общее число раскладок не может превосходить $kn \cdot k^{n-2}$, то есть $k^n \le k^{n-1}$, откуда $k \le n$. Значит, $k = n$, и неравенство выше обращается в равенство. Это значит, что каждая раскладка удовлетворяет ровно одной инструкции, и с каждой пары $(a, i)$ начинается ровно одна инструкция.

Рассмотрим произвольную инструкцию $(a, i) \to (b, j)$; тогда и инструкция вида $(b, j) \to (c, k)$. Поскольку не существует раскладки, удовлетворяющей обеим инструкциям, должны выполняться условия $i = k$ и $a \ne c$.

С другой стороны, для любых двух инструкций $(a, i) \to (b, j)$ и $(c, k) \to (d, l)$ среди номеров $i, j, k, l$ должны быть совпадающие — иначе опять же существует раскладка, удовлетворяющая обеим инструкциям. Рассмотрим граф с вершинами $1, 2, \dots, k$, в котором $i$ и $j$ соединены ребром $[i, j]$, если существует инструкция вида $(a, i) \to (b, j)$ (по показанному выше, существует также и инструкция вида $(b, j) \to (a', i)$). Тогда любые два ребра в этом графе имеют общую вершину, и из каждой вершины выходит хотя бы одно ребро. Пусть для определённости $[1, 2]$ — ребро этого графа. Из вершины $3$ выходит ребро, имеющее общую вершину с первым — пусть для определённости это $[1, 3]$. Тогда любое ребро из вершины $k > 3$ обязано иметь вид $[1, k]$, чтобы иметь общие вершины с каждым из ребер $[1, 2]$ и $[1, 3]$. Наконец, любое ребро вообще должно иметь общую вершину с каждым из ребер $[1, 2]$, $[1, 3]$ и $[1, 4]$, то есть должно содержать вершину $1$. Итак, в каждой инструкции один из номеров мест равен $1$.

Наконец, сопоставим каждому месту $i > 1$ все такие цвета $a$, что существует инструкция вида $(c, i) \to (a, 1)$. Из сказанного выше следует, что разным местам не может быть сопоставлен один и тот же цвет. Поскольку таких мест $k-1$, а цветов $k < 2(k-1)$, какому-то месту $i$ сопоставлен только один цвет $a$, то есть имеются все $k$ инструкций вида $(c, i) \to (a, 1)$ при всевозможных $a$. Однако существует также инструкция вида $(a, 1) \to (c, i)$ для некоторого $c$. Но она не может существовать вместе с инструкцией $(c, i) \to (a, 1)$; противоречие.