Russia — Regional Round

Пусть $t = \sqrt{a}$. Заметим, что $t \neq 1$. Тогда $x_{n+1} = 2^{n+1}(t-1)$ и $x_n = 2^n(t^2 - 1)$. Следовательно,
$$\begin{align*} x_n - x_{n+1} &= 2^n(t^2 - 1) - 2^{n+1}(t-1) = \\ &= 2^n(t^2 - 2t + 1) = 2^n(t-1)^2 > 0, \end{align*}$$
что и требовалось доказать.

Замечание. При других подходах к решению неравенства могут выглядеть по-разному при $a > 1$ (когда члены последовательности положительны) и при $0 < a < 1$ (когда они отрицательны).