Macedonian Junior Mathematical Olympiad

From the condition $11|n$, the number $n$ must have at least two digits. Let $n = \overline{a_k a_{k-1} \dots a_0}$ where $a_i$, $0 \le i \le k$ are digits and $a_k \ne 0$. From the former discussion we have $k \ge 1$.

We will show that all digits in the number $n$ are equal. Namely, from the condition of the exercise, the number $n' = \overline{a_k a_{k-1} \dots a_{i-1} a_i a_{i-2} \dots a_0}$ ($n'$ is obtained from $n$ by exchanging the positions of the digits $a_{i-1}$ and $a_i$) is also divisible by $11$. Therefore $11|n-n'$, i.e. $11|10^{i-1}(\overline{a_i a_{i-1}} - \overline{a_{i-1} a_i})$ or $11|10^{i-1} \cdot 9(a_i - a_{i-1})$, and hence $a_i = a_{i-1}$.

It follows that $n = a \cdot \overline{11\dots11}_{k+1}$. We easily check that $11|n$ if and only if $k$ is an odd number.

Од условот $11|n$ и бројот $n$ мора да е најмалку двоцифрен. Нека $n = \overline{a_k a_{k-1}...a_0}$ каде $a_i$, $0 \le i \le k$ се цифри и $a_k \ne 0$. Од претходната дискусија $k \ge 1$.

Ќе покажеме дека сите цифри во бројот $n$ се еднакви. Имено, од условот на задачата и бројот $n' = a_k a_{k-1} \dots a_{i-1} a_i a_{i-2} \dots a_0$ ($n'$ е добиен од $n$ со промена на местата на цифрите $a_{i-1}$ и $a_i$) е делив со $11$. Значи $11|n-n'$, т.е. $11|10^{i-1}(a_i a_{i-1} - a_{i-1} a_i)$ или $11|10^{i-1} \cdot 9(a_i - a_{i-1})$, па мора $a_i = a_{i-1}$.

Следува, $n = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{k+1}$. Лесно се проверува дека $11|n$ ако и само ако $k$ е непарен број.