Russian Mathematical Olympiad

$N = 3$.

Notice that $\gcd(d_i, d_{i+1}) \le d_{i+1} - d_i$; thus, denoting $r_i = (d_{i+1} - d_i) - \gcd(d_i, d_{i+1}) \ge 0$ we get $r_1 + \dots + r_{s-1} = 1$, so $r_k = 1$ for some $k$, and $r_i = 0$ for $i \ne k$; this yields that $d_{k+1} - d_k = 2$ and that $d_k, d_{k+1}$ are odd. If $k \ne s/2$, then $r_{s-k} \ne 0$ as well, which is impossible. Thus $N = d_k d_{k+1}$ is odd, so that $r_{s-1} \ge \frac{2N}{3} - \frac{N}{3}$; this yields $N = 3$.

$N = 3$.

Заметим сразу, что $d_{s+1-i} = N/d_i$ при всех $i = 1, 2, ..., s$.

НОД($d_1$, $d_2$) + НОД($d_2$, $d_3$) + ... + НОД($d_{s-1}$, $d_s$) = $N - 2$. Вычитая из первого равенства второе, получаем $r_1 + ... + r_{s-1} = 1$. Это означает, что $r_k = 1$ для некоторого k, а все остальные $r_i$ равны пулю.
Итак, $1 = (d_{k+1} - d_k) - \text{НОД}(d_k, d_{k+1})$. Правая, а потому и левая часть этого равенства делится на $\text{НОД}($$d_k$, $d_{k+1}$), поэтому $\text{НОД}($$d_k$, $d_{k+1}$) = 1 и $d_{k+1} - d_k = 2$. Это возможно, только если каждое из чисел $d_k$ и $d_{k+1}$ нечётно.

$$\text{НОД}(d_m, d_{m+1}) = \frac{N}{\text{НОК}(d_k, d_{k+1})} = \frac{N \cdot \text{НОД}(d_k, d_{k+1})}{d_k d_{k+1}} < \frac{N(d_{k+1} - d_k)}{d_k d_{k+1}} = d_{m+1} - d_m.$$

Значит, $r_m > 0$, что возможно лишь при $k = m$ (и, следовательно, $s = 2k$).
Итак, $d_{k+1} = \frac{N}{d_k}$, то есть число $N = d_k d_{k+1}$ нечётно. Но тогда $d_{s-1} \le \frac{N}{3}$, откуда $\text{НОД}($$d_{s-1}$, $d_s$) $\le d_{s-1} \le \frac{N}{3}$. Следовательно, $1 \ge r_{s-1} \ge \frac{2N}{3} - \frac{N}{3} = \frac{N}{3}$, т. е. $N \le 3$. Поскольку $N > 1$,

получаем единственно возможное значение $N = 3$, которое, как легко убедиться, удовлетворяет условию.