Library / Russian Mathematical Olympiad /28 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 5.6 AIME, harder Prove it Russia

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $AB = AC$ . Point $D$ is chosen on the smaller arc $AB$ of the circumcircle of $ABC$ . Point $E$ is chosen on the ray $AD$ outside the segment $AD$ so that points $A$ and $E$ lie on the same side of line $BC$ . The circumcircle of triangle $BDE$ intersects side $AB$ at point $F \neq B$ . Prove that the lines $EF$ and $BC$ are parallel. (R. Zhenodarov)

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ( $AB = AC$ ). На меньшей дуге $AB$ описанной около него окружности взята точка $D$ . На продолжении отрезка $AD$ за точку $D$ выбрана точка $E$ так, что точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно $BC$ . Описанная окружность треугольника $BDE$ пересекает сторону $AB$ в точке $F \neq B$ . Докажите, что прямые $EF$ и $BC$ параллельны. (Р. Женодаров)

Solution

Обозначим через $\Omega$ и $\omega$ описанные окружности треугольников $ABC$ и $BDE$ . Положим $\angle ACB = \angle ABC = \alpha$ . Четырёхугольник $BDAC$ вписан в $\Omega$ , значит, $\angle ADB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \alpha$ . Углы $ADB$ и $EDB$ — смежные, откуда $\angle EDB = 180^\circ - \angle ADB = \alpha$ . Далее, поскольку четырёхугольник $EDFB$ вписан в $\omega$ , имеем $\angle EFB = \angle EDB = \alpha$ .

Итого, $\angle EFB = \angle FBC = \alpha$ , а значит, прямые $EF$ и $BC$ параллельны.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.