Первое решение. Пусть $f(x) = x^2 + a x + b$, $g(x) = x^2 + c x + d$. Тогда условия задачи запишутся в виде
$$1 + a + b = 4 + 2c + d \text{ и } 4 + 2a + b = 1 + c + d.$$
Вычитая из первого равенства второе, получаем $-3 - a = 3 + c$, то есть $a + c = -6$. Но по теореме Виета $-a$ — это сумма корней первого трёхчлена, $-c$ — сумма корней второго трёхчлена, откуда и следует требуемое.

Второе решение. Рассмотрим вспомогательный квадратный трёхчлен $h(x) = g(3 - x)$ (он тоже приведённый!). Тогда $h(x) - f(x)$ — линейный многочлен с корнями 1 и 2; значит, он тождественно нулевой, то есть $f(x) = g(3 - x)$. Поэтому, если $x_0$ является корнем $f(x)$, то $3 - x_0$ является корнем $g(x)$, и сумма этих двух корней равна 3. Аналогично, сумма остальных корней этих многочленов также равна 3.