Ответ. $2^{n-1}$.

Отметим в каждом столбце лестницы по одной верхней клетке; назовём их объединение верхним слоем. Никакие две из $n$ клеток этого слоя не могут лежать в одном прямоугольнике разбиения, поэтому в любом разбиении лестницы не менее $n$ прямоугольников. С другой стороны, минимальная суммарная площадь $n$ прямоугольников с различными площадями равна $1 + 2 + \ldots + n$, что совпадает с площадью всей лестницы. Значит, число прямоугольников в любом разбиении равно $n$, их площади выражаются числами $1, 2, \ldots, n$, и каждый из них сохранит клетку верхнего слоя.

Покажем индукцией по $n$, что число требуемых разбиений лестницы высоты $n$ равно $2^{n-1}$. База индукции при $n = 1$ очевидна. Пусть утверждение индукции справедливо для лестницы высоты $n - 1$; рассмотрим разрезание лестницы высоты $n$ на прямоугольники площадей $1, 2, \ldots, n$.

Рассмотрим прямоугольник, покрывающий угловую (наиболее далекую от верхнего слоя) клетку лестницы. Он содержит клетку верхнего слоя, то есть сумма длин его сторон $a$ и $b$ равна $n + 1$. Поэтому его площадь $S = ab \ge a + b - 1 = n$, так как $(a-1)(b-1) = ab - (a + b - 1) \ge 0$; при этом равенство может достигаться лишь при $a = 1$ или $b = 1$. Поскольку площади прямоугольников разбиения не превосходят $n$, то $S = n$, и одна из сторон нашего прямоугольника равна $1$, а другая — $n$. Такой прямоугольник можно выбрать двумя способами (вертикальный или горизонтальный), причем в обоих случаях после его отрезания остается лестница высоты $n - 1$, количество способов разрезать которую на оставшиеся прямоугольники площадей $1, 2, \ldots, n - 1$ равно $2^{n-2}$ по предположению индукции. Значит, искомое количество способов равно $2^{n-2} + 2^{n-2} = 2^{n-1}$, что и требовалось.