Пусть $AB_1$, $AC_1$, $AD_1$ — высоты граней $ACD$, $ABD$, $ABC$. Точки пересечения высот этих граней лежат на прямых $AB_1$, $AC_1$, $AD_1$ и отличны от точки $A$. Поскольку они лежат на одной прямой $\ell$, то прямые $AB_1$, $AC_1$, $AD_1$ лежат в плоскости $\alpha$, содержащей $\ell$ и $A$ (ясно, что $A$ не лежит на $\ell$). Значит, точки $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $BCD$.

Рис. 27

Рис. 28

Пусть $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость $BCD$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах точки $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются проекциями $A'$ на прямые $CD$, $BD$, $BC$ (см. рис. 27). Значит, точки $A'$, $C$, $B_1$, $D_1$ лежат на одной окружности (с диаметром $A'C$), а также точки $A'$, $D$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности (с диаметром $A'D$). Отсюда $\angle(BC, A'C) = \angle(D_1C, A'C) = \angle(D_1B_1, A'B_1) = \angle(C_1B_1, A'B_1) = \angle(C_1D, A'D) = \angle(BD, A'D)$ (здесь через $\angle(a,b)$ обозначен угол от прямой $a$ до прямой $b$, отсчитываемый против часовой стрелки; этот угол считается с точностью до прибавления числа вида $\pi k$, где $k$ — целое). Из равенства $\angle(BC, A'C) = \angle(BD, A'D)$ следует, что точка $A'$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$ (см. рис. 28) и, следовательно, на описанной сфере $S$ пирамиды $ABCD$.

Тогда центр $O$ сферы $S$ лежит в плоскости $\beta$, являющейся серединным перпендикуляром к $AA'$. Ясно, что середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ также лежат в $\beta$ (так как треугольники $ABAA'$, $ACA'$, $ADA'$ прямоугольные). Это и требовалось доказать.