Library / Russian Mathematical Olympiad /50 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Algebra Difficulty 5.9 AIME, harder Prove it Russia

Determine whether there exists a real $\alpha$ such that $\cos \alpha$ is irrational, while all the numbers $\cos 2\alpha$ , $\cos 3\alpha$ , $\cos 4\alpha$ , $\cos 5\alpha$ are rational.

Существует ли такое вещественное $\alpha$ , что число $\cos \alpha$ иррационально, а все числа $\cos 2\alpha$ , $\cos 3\alpha$ , $\cos 4\alpha$ , $\cos 5\alpha$ рациональны?

Solution

Не существует.

Предположим противное. Тогда число $A = \cos \alpha + \cos 5\alpha$ иррационально как сумма рационального и иррационального; с другой стороны, $A = 2 \cos 2\alpha \cos 3\alpha$ рационально как произведение трёх рациональных чисел. Противоречие.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.