Так как для всех $x$ верно неравенство $P(x) = a x^2 + (b - c) x + c > 0$, то дискриминант трёхчлена $P(x)$ отрицателен: $D = (b - c)^2 - 4 a c = b^2 + c^2 - 2 b c - 4 a c < 0$. Кроме того, $c = P(0) > 0$. Значит, у трехчлена $Q(x) = c x^2 - (b + c) x + (a + b)$ положителен старший коэффициент, а его дискриминант $D' = (b + c)^2 - 4 c (a + b) = b^2 + c^2 + 2 b c - 4 a c - 4 b c = D$ отрицателен. Это значит, что $Q(x) > 0$ при всех действительных $x$, что и требовалось доказать.

Замечание. Другое решение можно получить, заметив, что
$$Q(x) = (1 - x)^2 P\left(\frac{1}{1 - x}\right).$$