Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /35 of 46

Geometry Difficulty 6.8 National olympiad Prove it Russia

Let $D$ be a point on the side $AC$ of a triangle $ABC$ . Let $E$ and $F$ be the points symmetric to $D$ with respect to the angle bisectors of $\angle A$ and $\angle C$ , respectively. Prove that the midpoint of the segment $EF$ lies on the line $A_0C_0$ , where $A_0$ and $C_0$ are the points of tangency of the incircle with the sides $BC$ and $AB$ , respectively. (T. Emelyanova)

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили произвольную точку $D$ . Пусть $E$ и $F$ — точки, симметричные точке $D$ относительно биссектрис углов $A$ и $C$ соответственно. Докажите, что середина отрезка $EF$ лежит на прямой $A_0C_0$ , где $A_0$ и $C_0$ — точки касания вписанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно.

Solution

Пусть $B_0$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AC$ . Можно считать, что точка $D$ лежит на отрезке $AB_0$ . Точки $A_0$ и $C_0$ симметричны точке $B_0$ относительно биссектрис углов $C$ и $A$ соответственно. Следовательно, точка $E$ лежит на отрезке $AC_0$ , а точка $F$ — на продолжении отрезка $CA_0$ , и $EC_0 = DB_0 = FA_0$ .

Обозначим теперь через $M$ точку пересечения прямых $EF$ и $A_0C_0$ (она лежит на отрезке $EF$ ). Отметим на прямой $A_0C_0$ точку $G$ так, чтобы отрезки $FG$ и $AB$ были параллельны. Тогда треугольники $FGA_0$ и $BC_0A_0$ подобны; поскольку $BC_0 = BA_0$ , получаем $FG = FA_0 = EC_0$ . Далее, из параллельности имеем $\angle FEC_0 = \angle EFG$ и $\angle EC_0G = \angle FGC_0$ . Значит, треугольники $EC_0M$ и $FGM$ равны по стороне и двум углам, и $EM = MF$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.