IMO Selection Test

Бидејќи $HG \parallel AB$ и $BG \parallel AH$, добиваме дека $BG \perp BC$ и $CH \perp GH$. Според тоа, четириаголникот $BGCH$ е тетивен. Бидејќи $H$ е ортоцентар на триаголникот $ABC$, добиваме дека $\angle HAC = 90^\circ - \angle ACB = \angle CBH$. Бидејќи $BGCH$ и $CGJI$ се тетивни четириаголници, добиваме дека
$$\angle CJI = \angle CGH = \angle CBH = \angle HAC.$$
Нека $M$ е пресечна точка на $AC$ и $GH$, и нека $D \neq A$ е точка од правата $AC$ така што $AH = HD$. Тогаш $\angle MJI = \angle HAC = \angle MDH$.
Бидејќи $\angle MJI = \angle MDH$, $\angle IMJ = \angle HMD$ и $IM = MH$, добиваме дека триаголниците $IMJ$ и $HMD$ се складни, па според тоа $IJ = HD = AH$, што требаше да се докаже.

Равенството $\angle CGH = \angle CGB$ го добиваме на потполно ист начин како и во претходното решение. Во паралелограмот $ABGH$ имаме $\angle BAH = \angle HGB$. Од таму добиваме дека
$$\angle HMC = \angle BAC = \angle BAH + \angle HAC = \angle HGB + \angle CGB = \angle CGB.$$

Според тоа правоаголните триаголници $CMH$ и $CGB$ се слични. Исто така од опишаната круница околу триаголникот $GCI$ лесно се добива дека триаголниците $MIJ$ и $MCG$ се слични. Но, тогаш
$$\frac{IJ}{CG} = \frac{MI}{MC} = \frac{MH}{MC} = \frac{GB}{GC} = \frac{AH}{CG},$$
од каде го добиваме равенството $IJ = AH$.