Ответ. Могло.

Покажем, что математики могли выбрать число $\alpha = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$; это число является корнем уравнения $\alpha^2 + \alpha = 7$. Ясно, что $\alpha > 2$. Нетрудно видеть, что при натуральных $m$ мы имеем $(2\alpha)^m = a_m + b_m\sqrt{29}$, где $a_m$ и $b_m$ — целые числа, причём $a_m < 0 < b_m$ при нечётных $m$ и $a_m > 0 > b_m$ при чётных $m$. Значит, число $\alpha^m$ иррационально.

Осталось показать, что для любого натурального числа $n$ сумму в $n$ рублей можно набрать требуемым способом. Рассмотрим все способы набрать $n$ рублей выпущенными монетами (хотя бы один такой способ существует: можно взять $n$ рублёвых монет). Выберем из них способ, в котором наименьшее число монет. Предположим, что какая-то монета достоинства $\alpha^i$ ($i \ge 0$) встречается в этом способе хотя бы 7 раз. Тогда можно заменить 7 монет по $\alpha^i$ монетами достоинств $\alpha^{i+1}$ и $\alpha^{i+2}$. При этом суммарное достоинство монет не изменится (поскольку $\alpha^{i+1} + \alpha^{i+2} = 7\alpha^i$), а их количество уменьшится.

Это невозможно по выбору нашего способа. Итак, этот способ удовлетворяет условию.