Доведемо спочатку, що якщо основою чотирикутної піраміди $SABCD$ є квадрат $ABCD$, і точки $A_0, B_0, C_0, D_0$ належать променям $SA, SB, SC, SD$ відповідно, причому $A_0B_0C_0D_0$ є паралелограмом, то $A_0B_0C_0D_0$ — квадрат. Нехай $l = (SCD) \cap (SAB)$ і $m = (SAD) \cap (SBC)$. За відомою лемою про три паралельні, $CD \parallel BA \parallel l$, $BC \parallel AD \parallel m$, $C_0D_0 \parallel B_0A_0 \parallel l$, $B_0C_0, A_0D_0 \parallel m$. Отже, $(ABCD) \parallel (A_0B_0C_0D_0)$, а тому, як легко зрозуміти (наприклад, з міркувань перетворення гомотетії), $A_0B_0C_0D_0$ — квадрат. З цього допоміжного твердження випливає, що всі грані нашого паралелепіпеда — квадрати. Таким чином, цей паралелепіпед $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$ насправді є кубом.

Наведемо й один з можливих векторних способів розв'язування цієї задачі. Нехай $MABCD$ — чотиригранний кут з вершиною $M$ і неколінеарними ребрами $MA, MB, MC$ і $MD$. Досить показати, що якщо два його перерізи $A_1B_1C_1D_1$ і $A_2B_2C_2D_2$ ($A_1, A_2 \in MA$, $B_1, B_2 \in MB$, $C_1, C_2 \in MC$, $D_1, D_2 \in MD$) є паралелограмами, то ці паралелограми подібні. Розглянемо в просторі гомотетію з центром у точці $M$ і коефіцієнтом $k = MA_1/MA_2$. Нехай образом паралелограма $A_2B_2C_2D_2$ при такій гомотетії буде паралелограм $A_1B_3C_3D_3$. Доведемо, що $B_1 = B_3$, $C_1 = C_3$, $D_1 = D_3$. Оскільки $A_1B_3 = D_3C_3$, то $MA_1 = MB_3 - MC_3 + MD_3$. Нехай $u, v, w$ — напрямні орти променів $MB, MC, MD$ відповідно. Тоді для деяких дійсних чисел $x, y$ і $z$ $MB_3 = x \cdot u$, $MC_3 = y \cdot v$, $MD_3 = z \cdot w$, звідки $MA_1 = x \cdot u - y \cdot v + z \cdot w$. Оскільки $A_1B_1 = D_1C_1$, то $MA_1 = MB_1 - MC_1 + MD_1$, а тому існують такі $x_0, y_0$ і $z_0$, що $MB_1 = x_0 \cdot u$, $MC_1 = y_0 \cdot v$, $MD_1 = z_0 \cdot w$, $MA_1 = x_0 \cdot u - y_0 \cdot v + z_0 \cdot w$. Враховуючи, що трійка векторів $u, v, w$ утворює базис у просторі, дістаємо, що $x = x_0$, $y = y_0$, $z = z_0$.