Домножив, если нужно, числа $a$ и $b$ на подходящую степень десятки, мы можем считать, что десятичные записи чисел $a, b, a-b$ и $a+kb$ — чисто периодические (то есть периоды начинаются сразу после запятой).

Воспользуемся следующим известным фактом: десятичная запись рационального числа $r$ — чисто периодическая с (не обязательно минимальной) длиной периода $T$ тогда и только тогда, когда $r$ имеет вид $\frac{m}{10^{T}-1}$ для некоторого целого $m$.

Применительно к условию задачи это значит, что $a = \frac{m}{10^{30}-1}$ и $b = \frac{n}{10^{30}-1}$. Нам также известно, что числа $a-b = \frac{m-n}{10^{30}-1}$ и $a+kb = \frac{m+kn}{10^{30}-1}$ записываются десятичными дробями с периодом длины 15, то есть могут быть записаны как обыкновенные дроби со знаменателем $10^{15}-1$. Поэтому так может быть записана и их разность $(k+1)b = \frac{(k+1)n}{10^{30}-1}$. Таким образом, число $(k+1)n$ делится на $10^{15}+1$, а число $n$ — не делится (иначе и $b$ записывалось бы дробью с периодом длины 15). Значит, число $k+1$ делится на некоторый простой делитель числа $10^{15}+1$. Наименьший из таких делителей — это 7. Действительно, число $10^{15}+1$ даёт остаток 1 при делении на 2 и на 5, а также остаток 2 при делении на 3. С другой стороны, оно делится на $10^3+1 = 7 \cdot 143$. Итак, $k+1 \ge 7$ и $k \ge 6$.

В некотором смысле минимальный пример чисел, удовлетворяющих условию при $k = 6$, получается, если положить $a - b = \frac{1}{10^{15}-1}$ и $a + 6b = \frac{2}{10^{15}-1}$. Тогда $a = \frac{8}{7(10^{15}-1)}$ и $b = \frac{1}{7(10^{15}-1)}$. Ясно, что длины минимальных периодов чисел $a-b$ и $a+6b$ равны 15. Далее, длины минимальных периодов чисел $a$ и $b$ больше 15 и делятся на 15 (так как $10^T - 1$ должно делиться на $10^{15} - 1$). С другой стороны, так как $10^{30} - 1 = 7(10^{15} - 1)$, числа $a$ и $b$ периодичны с длиной периода 30. Значит, длины их минимальных периодов равны 30.