Library / Russian Mathematical Olympiad /77 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 6.5 National Olympiad Prove it Russia

The circles $\omega_1$ and $\omega_2$ touch each other externally at $P$ . Let $\ell_1$ be a line passing through the center of $\omega_1$ and tangent to $\omega_2$ . Similarly, a line $\ell_2$ is tangent to $\omega_1$ and passes through the center of $\omega_2$ . The lines $\ell_1$ and $\ell_2$ are not parallel. Prove that $P$ lies on the angle bisector of some angle formed by $\ell_1$ and $\ell_2$ . (L. Emelyanov)

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом в точке $P$ . Через центр $\omega_1$ проведена прямая $\ell_1$ , касающаяся $\omega_2$ . Аналогично, прямая $\ell_2$ касается $\omega_1$ и проходит через центр $\omega_2$ . Оказалось, что прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ непараллельны. Докажите, что точка $P$ лежит на биссектрисе одного из углов, образованных $\ell_1$ и $\ell_2$ . (Л. Емельянов)

Solution

Пусть $O_1$ , $r_1$ и $O_2$ , $r_2$ — соответственно центры и радиусы окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ , а $K$ — точка пересечения $\ell_1$ и $\ell_2$ . Заметим, что точка $P$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и делит его в отношении $r_1 : r_2$ .

Обозначим через $P_1$ точку касания $\ell_2$ и $\omega_1$ , а через $P_2$ точку касания $\ell_1$ и $\omega_2$ . Прямоугольные треугольники $KO_1P_1$ и $KO_2P_2$ подобные по острому углу при вершине $K$ . Значит, $\frac{KO_1}{KO_2} = \frac{O_1P_1}{O_2P_2} = \frac{r_1}{r_2}$ . Таким образом, в треугольнике $KO_1O_2$ точка $P$ , лежащая на стороне $O_1O_2$ , делит её в отношении, равном отношению прилежащих сторон $KO_1$ и $KO_2$ . Из этого следует, что $P$ — основание биссектрисы треугольника $KO_1O_2$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.