Proof: (1) When $a \leqslant 1, b \leqslant 1, c \leqslant 1$,
$$\begin{aligned} \because & (1-a)(1-b) \geqslant 0, \\ \therefore & 2-a-b \geqslant 1-a b \geqslant c(1-a b), \\ & 2+a b c \geqslant a+b+c \geqslant a b+b c+a c . \\ \therefore & \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \\ \geqslant & 3 \geqslant a b+b c+a c+1-a b c \\ = & a+b+c+Q . \end{aligned}$$
(2) When $a \geqslant 1, b \leqslant 1, c \leqslant 1$, using $\sum$ to denote the sum, then
$$\begin{array}{l} Q=a b c-1+\sum a-\sum a b \geqslant 0 . \\ \therefore \sum a \geqslant \sum a b+1-a b c . \\ \because \sum \frac{a}{c}+\sum a c \geqslant 2 \sum a, \\ \therefore \sum \frac{a}{c} \geqslant 2 \sum a-\sum a c \\ \quad \geqslant 2 \sum a-\sum a c+a b c-1=\sum a+Q . \end{array}$$
(3) When $a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \leqslant 1$, it is easy to prove
$$\sum a \geqslant a+1+b c \geqslant 2+a b c \text {. }$$

Also, from $Q \geqslant 0$, we get
$$\begin{array}{l} \sum a b \geqslant \sum a+a b c-1, \\ \sum a^{2} b+\sum b \geqslant 2 \sum a b \\ \geqslant \sum a b+\sum a+a b c-1 . \\ \therefore \sum a^{2} b \geqslant \sum a b+a b c-1 \\ \geqslant a b c\left(\sum a b+1-a b c\right)^{(4)} . \\ \therefore \sum \frac{a}{c} \geqslant \sum a b+1-a b c=\sum a+Q . \end{array}$$

For $a \geqslant 1, c \geqslant 1, b \leqslant 1$, the proof is similar, as shown in (1),

Note: To prove
$$\sum a b+a b c-1 \geqslant a b c\left(\sum a b+1-a b c\right),$$

it suffices to prove $(1-a b c) \sum a b \geqslant(1-a b c)(1+a b c)$, which is equivalent to proving $\sum a b \geqslant 1+a b c$.
From $Q \geqslant 0$ and $\sum a \geqslant 2+a b c$, we have
$$\sum a b \geqslant \sum a+a b c-1 \geqslant 1+2 a b c \geqslant 1+a b c .$$