Olympiad Maths Prep

Track / Stage 7 / 286 of 300 #1686 of 2000

Problem 1686

National olympiad second round; IMO P1/P4
Algebra Difficulty 7.8 Prove it IMO-Selektionsprüfung · Switzerland

Problem:

Trouver toutes les fonctions f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} telles que pour tous m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, on ait
m2+f(n)∣mf(m)+n m^{2}+f(n) \mid m f(m)+n

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:

Avec m=nm=n, on obtient m2+f(m)∣mf(m)+mm^{2}+f(m) \mid m f(m)+m.
⇒m2+f(m)∣mf(m)+m−m(m2+f(m))⇒m2+f(m)∣m3−m \Rightarrow m^{2}+f(m)\left|m f(m)+m-m\left(m^{2}+f(m)\right) \Rightarrow m^{2}+f(m)\right| m^{3}-m
Donc, avec m=2m=2, on a 4+f(2)∣64+f(2) \mid 6 et comme f(2)>0f(2)>0, on a f(2)=2f(2)=2.
Substituons m=2m=2 au départ, on a 4+f(n)∣4+n4+f(n) \mid 4+n et donc n≥f(n),∀n∈Nn \geq f(n), \forall n \in \mathbb{N}. En particulier, 0<f(1)≤10<f(1) \leq 1 et donc f(1)=1f(1)=1.
De plus, on a m2+f(m)∣mf(m)+mm^{2}+f(m) \mid m f(m)+m, et donc f(m)≥m,∀m∈N−{1}f(m) \geq m, \forall m \in \mathbb{N}-\{1\}.
On en conclut que f(n)=n,∀n∈Nf(n)=n, \forall n \in \mathbb{N}, qui est bien une solution.

Posons m=f(n)m=f(n), on obtient f(n)2+f(n)∣f(n)f(f(n))+nf(n)^{2}+f(n) \mid f(n) f(f(n))+n et donc f(n)∣nf(n) \mid n. En particulier, f(n)≤n∀n∈Nf(n) \leq n \forall n \in \mathbb{N} et f(1)=1f(1)=1.
En posant n=1n=1, on obtient m≤f(m),∀m∈Nm \leq f(m), \forall m \in \mathbb{N}. On conlcut de la męme maničre.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.