Problem 2113

Кожен лінгвіст має взяти участь щонайменше в $6$ сеансах, інакше він не оволодіє всіма $11$ мовами. Оскільки в одному сеансі беруть участь два лінгвісти, то кількість сеансів не менша за $33 = \frac{6 \cdot 11}{2}$. Покажемо, що $33$ сеансів Консультантові насправді вистачить. Кожний сеанс будемо зображати у вигляді $(a,b|c,d)$, де $a$ і $b$ — номери лінгвістів, $c$ і $d$ — номери мов $(1 \leq a,b,c,d \leq 11)$. Для $1 \leq k \leq 5$ $(2k-1)$-го й $(2k)$-го лінгвістів запрошуємо на сеанси $(2k-1,2k|2l,2l+1)$, де $k \leq l \leq 5$. Маємо вже $5+4+3+2+1=15$ сеансів. Далі, для кожного з цих сеансів розглянемо "доповняльний" для сеансу $(a,b|c,d)$ розглянемо сеанс $(12-a,12-b|12-c,12-d)$. Після цих $30$ сеансів лінгвісти з парними номерами опанують усі $11$ мов, а лінгвісти з непарними номерами опанують усі мови, номер яких не співпадає з номером відповідного лінгвіста. Отже, потрібні ще такі сеанси $(4m-3,4m-1|4m-3,4m-1)$, $1 \leq m \leq 3$.