Track / Stage 5 / 147 of 400 #1387 of 2604

Problem 1387

AIME late

Number theory Difficulty 5.3 Prove it Ukrainian Mathematical Olympiad · Ukraine

Find all positive integers $a$ , $100 \le a \le 999$ , such that the decimal values of $a^2$ and $(3a - 2)^2$ have the same three-digits endings.

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Відповідь: $251$ , $313$ , $501$ , $563$ , $751$ , $813$ .

Маємо: $(3a-2)^2 - a^2 = 1000k$ .
Тобто, $(2a-1)(a-1) = 250k = 2 \cdot 5^3 \cdot k$ .
Числа $2a-1$ і $a-1$ взаємно прості, причому перше з них непарне. Отже, друге число парне, і, відповідно, число $a$ непарне. Звідси випливає, що $a-1=250$ , або ж $2a-1=125$ . Таким чином, непарне число $a$ з проміжку $100 \le a \le 999$ задовольняє умову задачі тоді й тільки тоді, коли $a \in \{251; 501; 751\}$ або $2a-1 \in \{375; 625; 875; 1125; 1375; 1625; 1875\}$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.