Track / Stage 5 / 10 of 400 #610 of 1964

Problem 610

AIME late

Algebra Difficulty 5.0 Prove it Euler Olympiad · Russia

Prove or disprove that for every integer $n \ge 2009$ one can choose two distinct pairs of fractions from the sequence $\frac{1}{n}, \frac{2}{n-1}, \frac{3}{n-2}, \dots, \frac{n-1}{2}, \frac{1}{n}$ so that the sums of fractions in pairs are equal. (A. Shapovalov, K. Knop)

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Каждая из данных дробей имеет вид $\frac{n+1-a}{a} = \frac{n+1}{a} - 1$ , где $1 \le a \le n$ . Стало быть, нам требуется найти такие различные натуральные числа $a, b, c$ и $d$ , не большие 2009, для которых $(\frac{n+1}{a} - 1) + (\frac{n+1}{b} - 1) = (\frac{n+1}{c} - 1) + (\frac{n+1}{d} - 1)$ , что равносильно $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$ .
Осталось подобрать дроби, удовлетворяющие этому равенству. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, равенство $1+4=2+3$ , поделенное на 12, даёт $\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.