Problem 1411

Число $p = 2$ не задовольняє умову, оскільки $p^5 - p = 30 = 2 \cdot 15$ та $3! < 15 < 4!$ Число $p = 3$ задовольняє умову, оскільки $p^5 - p = 240 = 2 \cdot 5!$

Нехай $p \ge 5$ та $p^5 - p = 2n!$ для деякого натурального $n$, тоді $n! = (p-1)p(p+1) \frac{p^2+1}{2}$. Оскільки $p$ просте та $n!$ ділиться без остачі на $p$, то $n \ge p$. Отже,
$$1 \cdot 2 \cdots (p-2) \cdot (p-1) \cdot p \cdots n = (p-1)p(p+1) \frac{p^2+1}{2}.$$
Звідси $(p+1)(p^2 + 1)$ ділиться без остачі на $p-2$. Але $(p+1)(p^2 + 1) = p^3 + p^2 + p + 1 = (p-2)(p^2 + 3p + 7) + 15$, тому 15 ділиться без остачі на $p-2$.

Оскільки $p-2 \ge 3$, то $p-2 = 3$, або $p-2 = 5$, або $p-2 = 15$ тобто $p = 5$, або $p = 7$, або $p = 17$. Перевірка показує, що ці числа не задовольняють умову.

Відповідь: $p = 3$.