Track / Stage 6 / 181 of 400 #1661 of 2444

Problem 1661

National Olympiad, first round

Geometry Difficulty 6.2 Prove it Russia — Regional Round · Russia

Let $AD$ , $BE$ and $CF$ be the angle bisectors in a triangle $ABC$ , and let $I$ be their intersection point. The perpendicular bisector of segment $AD$ intersects lines $BE$ and $CF$ at points $M$ and $N$ , respectively. Prove that the points $A$ , $I$ , $M$ , and $N$ are concyclic. (D. Prokopenko)

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD, BE$ и $CF$ , пересекающиеся в точке $I$ . Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает прямые $BE$ и $CF$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что точки $A, I, M$ и $N$ лежат на одной окружности. (Д. Прокопенко)

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Для решения задачи достаточно установить, что $\angle MAI = \angle MNI$ (см. рис. 5).

Пусть $K$ — середина отрезка $AD$ . Заметим, что $\angle MNI = \angle KNI = 90^\circ - \angle KIN = 90^\circ - (\angle ACI + \angle CAI) = \frac{1}{2}(180^\circ - (\angle ACB + \angle BAC)) = \frac{1}{2}\angle ABC$ .

Остаётся установить, что $\angle MAI = \frac{1}{2} \angle ABC$ . Пусть $M'$ — точка пересечения окружности, описанной около треугольника $ABD$ , с серединным перпендикуляром к отрезку $AD$ (точка $M'$ лежит на дуге $\text{AD}$ , не содержащей точку $B$ ). Тогда $AM' = DM'$ , а значит, и $\angle M'BD = \angle M'BA$ , как опирающиеся на равные дуги. Это означает, что точка $M'$ лежит на биссектрисе угла $ABC$ и, следовательно, $M'$ совпадает с $M$ .

Итак, точки $A, M, D$ и $B$ лежат на одной окружности, откуда $\angle MAI = \angle MBD = \frac{1}{2} \angle ABC$ , что и требовалось.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.