Problem 915

Якщо виконується умова задачі, і принаймні одне з чисел $a, b$ дорівнює 1, то твердження є очевидним. Нехай $a > 1$ і $b > 1$. Позначимо $\frac{a^4-1}{b+1} = \frac{x}{y}$, $\frac{b^4-1}{a+1} = \frac{z}{t}$, де $x, y, z, t$ — натуральні числа, причому $(x;y) = (z;t) = 1$. За умовою задачі, сума $\frac{x}{y} + \frac{z}{t} = m$ є цілим числом, тобто $xt + yz = myt$. З цієї рівності випливає, що $y:t$ і $t:y$. Отже, $y = t$. Оскільки добуток
$$\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{t} = \frac{a^4 - 1}{b+1} \cdot \frac{b^4 - 1}{a+1} = (a-1)(b-1)(a^2+1)(b^2+1) = k$$
також є цілим числом, то $y = t = 1$, бо $(x;y) = (z;t) = 1$. Звідси випливає, що $b^4 - 1$ ділиться без остачі на $a+1$. Звідси одержуємо, що $b^{2012} - 1 \equiv a + 1 \pmod{2012}$, а числа $b^{2012} - 1 \equiv a^{2010} - 1 \pmod{2010}$, і діляться без остачі на $a+1$ (ми враховуємо, що $a^{2010} - 1 = (a^2)^{1005} - 1$ ділиться без остачі на $a^2 - 1$), то $a^{2010}b^{2012} - 1 \equiv a + 1$, що й треба було довести (можна також було скористатися й властивостями конгруенцій).