Track / Stage 7 / 41 of 300 #1441 of 1964

Problem 1441

National Olympiad second round; IMO P1/P4

Geometry Difficulty 7.0 Prove it Russian Mathematical Olympiad · Russia

Let $\omega$ be the incircle of a triangle $ABC$ (with $AB < AC$ ). Let the excircle $\omega_A$ touch the side $BC$ at $A'$ . A variable point $X$ is chosen on the segment $AA'$ so that the segment $A'X$ has no common points with $\omega$ . The tangents to $\omega$ passing through $X$ meet the side $BC$ at $Y$ and $Z$ . Prove that the sum $XY + XZ$ does not depend on the choice of $X$ . (I. Mitrofanov)

Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$ , в котором $AB < AC$ . Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$ . Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$ . Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$ , пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$ . Докажите, что сумма $XY + XZ$ не зависит от выбора точки $X$ .

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Let $\omega$ touch $BC$ at $A''$ . We assume that $A''Y < A''Z$ . Let $\omega'$ be the excircle of the triangle $XYZ$ touching the side $XZ$ , and let $T$ be the meeting point of $\omega$ and $AA'$ closest to $A$ ; the tangent at $T$ to $\omega$ is parallel to $BC$ . The homothety centered at $X$ mapping $\omega$ to $\omega'$ maps $T$ to $AA' \cap BC = A'$ . Therefore, $XY + XZ = A'A''$ which does not depend on $X$ .

Будем считать, что точка $Y$ лежит ближе к точке $B$ , нежели $Z$ ; кроме того, считаем, что сторона $BC$ горизонтальна, а $A$ лежит выше неё (см. рис. 15).

Обозначим через $\omega_A$ вневписанную окружность треугольника $ABC$ , касающуюся стороны $BC$ , а через $\omega'$ — вневписанную окружность треугольника $XYZ$ , касающуюся стороны $XZ$ .

Пусть $\omega$ касается $BC$ в точке $A''$ . Обозначим через $T$ точку пересечения $AA'$ и $\omega$ , лежащую ближе к $A$ . Гомотетия с центром $A$ , переводящая $\omega$ в $\omega_A$ , переводит $T$ в $A'$ ; значит, касательная к $\omega$ в $T$ параллельна $BC$ .
Поскольку окружности $\omega$ и $\omega'$ вписаны в вертикальные углы, образованные прямыми $XY$ и $XZ$ , существует гомотетия с центром в $X$ (и отрицательным коэффициентом), переводящая $\omega$ в $\omega'$ . Пусть при этой гомотетии точка $T$ переходит в точку $T'$ . Тогда $T'$ лежит на прямой $AA'$ , касательная к $\omega'$ в $T'$ параллельна $BC$ , и $\omega'$ лежит выше этой касательной. Такая касательная к $\omega'$ — это прямая $BC$ ; значит, $T'$ лежит на $BC$ , то есть $\omega'$ касается $BC$ в точке $A'$ .

Обозначим полупериметр треугольника $XYZ$ через $p$ . Так как окружности $\omega$ и $\omega'$ — вневписанные для этого треугольника, имеем $ZA' = YA'' = p - YZ$ . Значит,
$XY + XZ = 2p - YZ = 2(p - YZ) + YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'', \text{ что не зависит от выбора точки } X.$

Замечание. Тот факт, что $\omega'$ касается $BC$ в точке $A'$ , можно также доказать, применив теорему о трёх гомотетиях к окружностям $\omega, \omega_A$ и $\omega'$ . Центры гомотетий, переводящих их друг в друга, есть $A, X$ и некоторая точка $Q$ , лежащая на $BC$ (так как $BC$ — внутренняя общая касательная к $\omega_A$ и $\omega'$ ). Получаем, что $Q$ лежит на прямой $AX$ , то есть совпадает с $A'$ . Поскольку $\omega_A$ касается $BC$ в $Q = A'$ , то и $\omega'$ также касается $BC$ в этой же точке.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.