Problem 1982

Solution:

Oplossing I. De eerste twee vergelijkingen van elkaar afhalen geeft $x_{2}-x_{3}=x_{3}^{2}-x_{2}^{2}+6 x_{4}\left(x_{3}-x_{2}\right)$, wat we kunnen ontbinden als $0=\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{3}+x_{2}+1+6 x_{4}\right)$. We zien dat $x_{2}=x_{3}$ of $x_{2}+x_{3}+1+6 x_{4}=0$. Analoog geldt ook dat $x_{2}=x_{3}$ of $x_{2}+x_{3}+1+6 x_{1}=0$. Dus als $x_{2} \neq x_{3}$, dan geldt in beide gevallen de tweede gelijkheid; die van elkaar afhalen geeft $x_{1}=x_{4}$. We conluderen dat $x_{2}=x_{3}$ of $x_{1}=x_{4}$. Analoog geldt voor elke permutatie $(i, j, k, l)$ van $(1,2,3,4)$ dat $x_{i}=x_{j}$ of $x_{k}=x_{l}$.
We bewijzen nu dat minstens drie van de $x_{i}$ gelijk aan elkaar zijn. Als ze alle vier gelijk zijn, is dat natuurlijk waar. Anders zijn er twee die ongelijk zijn, zeg zonder verlies van algemeenheid $x_{1} \neq x_{2}$. Dan geldt $x_{3}=x_{4}$. Als nu $x_{1}=x_{3}$, dan zijn er drie elementen aan elkaar gelijk. Anders is $x_{1} \neq x_{3}$, dus $x_{2}=x_{4}$ en ook dan zijn er drie elementen aan elkaar gelijk. Het viertal $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ is dus op volgorde na van de vorm $(x, x, x, y)$, waarbij eventueel mag gelden dat $x=y$.
Dit invullen in de gegeven vergelijkingen geeft $x+y=8 x^{2}$ en $2 x=x^{2}+y^{2}+6 x y$. Tel deze twee vergelijkingen bij elkaar op: $3 x+y=9 x^{2}+y^{2}+6 x y$. De rechterkant is te ontbinden als $(3 x+y)^{2}$. Met $s=3 x+y$ staat er dus $s=s^{2}$, waaruit volgt $s=0$ of $s=1$. Er geldt $s=3 x+y=2 x+(x+y)=2 x+8 x^{2}$. Dus $8 x^{2}+2 x=0$ of $8 x^{2}+2 x=1$.
In het eerste geval geldt $x=0$ of $x=-\frac{1}{4}$. We vinden $y=0-3 x=0$ respectievelijk $y=0-3 x=\frac{3}{4}$. In het tweede geval kunnen we de vergelijking ontbinden als $(4 x-1)(2 x+1)=0$, dus $x=\frac{1}{4}$ of $x=-\frac{1}{2}$. We vinden $y=1-3 x=\frac{1}{4}$ respectievelijk $y=1-3 x=\frac{5}{2}$.
Alles bij elkaar hebben we de volgende viertallen gevonden: $(0,0,0,0),\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)$ en de permutaties hiervan, $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ en $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ en de permutaties hiervan. Controleren laat zien dat al deze viertallen voldoen.

Oplossing II. Alle gelijkheden optellen geeft
$$3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)=3\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)+6\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4}\right) .$$
De rechterkant laat zich ontbinden als $3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2}$. Schrijf $s=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$, dan vinden we dus nu de vergelijking $3 s=3 s^{2}$ met oplossingen $s=0$ en $s=1$.
Zij $(i, j, k, l)$ een permutatie van $(1,2,3,4)$. Dan geldt
$$s-\left(x_{i}+x_{j}\right)=x_{k}+x_{l}=x_{i}^{2}+x_{j}^{2}+6 x_{i} x_{j}$$
dus
$$x_{i}^{2}+x_{j}^{2}+6 x_{i} x_{j}+x_{i}+x_{j}-s=0 .$$
Voor een vaste $j$ is dit een kwadratische vergelijking in $x_{i}$, met maximaal twee oplossingen. Bij een vaste $j$ kunnen we voor $i$ drie verschillende waarden kiezen, dus volgens het ladenprincipe zijn twee van die mogelijke $x_{i}$ gelijk aan elkaar. Voor elke $x_{j}$ geldt dus dat van $x_{i}, x_{k}$ en $x_{l}$ er twee gelijk aan elkaar zijn.
In het bijzonder zijn twee van $x_{2}, x_{3}$ en $x_{4}$ gelijk aan elkaar, zeg $x_{3}=x_{4}$. Nu nemen we $j=3$ en zien we dat van $x_{1}, x_{2}$ en $x_{4}$ er twee gelijk aan elkaar zijn. Als $x_{4}$ daarbij zit, hebben we drie gelijke elementen. Als $x_{4}$ er niet bij zit, geldt $x_{1}=x_{2}$ en $x_{3}=x_{4}$. Op volgorde na moeten de viertallen dus van de vorm $(x, x, x, y)$ of $(x, x, y, y)$ zijn. Vul nu in (1) $x_{i}=x$ en $x_{j}=x$ in. Dan staat er $8 x^{2}+2 x-s=0$. We gaan nu gevallen naar $s$ onderscheiden.
Stel dat $s=0$. Dan geldt er $8 x^{2}+2 x=0$, dus $x=0$ of $x=-\frac{1}{4}$. Als $x=0$, dan zijn dus twee of drie van de elementen gelijk aan 0 . Verder weten we dat de som van de vier elementen nul moet zijn en dat als er nog twee elementen over zijn, die gelijke waarde moeten hebben. We zien dat alleen $(0,0,0,0)$ mogelijk is. Als $x=-\frac{1}{4}$, dan vullen we $x$ en $y$ in in (1). Dat geeft $y^{2}+\frac{1}{16}-\frac{6}{4} y+y-\frac{1}{4}=0$, oftewel $y^{2}-\frac{1}{2} y-\frac{3}{16}=0$. Dit kunnen we herschrijven als $\left(y+\frac{1}{4}\right)\left(y-\frac{3}{4}\right)=0$, dus $y=-\frac{1}{4}$ of $y=\frac{3}{4}$. Omdat de som van de vier elementen 0 moet zijn, kan (op volgorde na) alleen ( $-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ ).
Stel dat $s=1$. Dan geldt er $8 x^{2}+2 x-1=0$, wat te schrijven is als $(4 x-1)(2 x+1)=0$, dus $x=\frac{1}{4}$ of $x=-\frac{1}{2}$. Als $x=\frac{1}{4}$, dan vullen we $x$ en $y$ in in (1). Dat geeft $y^{2}+\frac{1}{16}+\frac{6}{4} y+y+\frac{1}{4}-1= 0$, oftewel $y^{2}+\frac{5}{2} y-\frac{11}{16}=0$. Dit kunnen we herschrijven als $\left(y-\frac{1}{4}\right)\left(y+\frac{11}{4}\right)=0$, dus $y=\frac{1}{4}$ of $y=-\frac{11}{4}$. Omdat de som van de vier elementen 1 moet zijn, kan alleen $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$. Als $x=-\frac{1}{2}$, dan vullen we $x$ en $y$ in in (1). Dat geeft $y^{2}+\frac{1}{4}-3 y+y-\frac{1}{2}-1=0$, oftewel $y^{2}-2 y-\frac{5}{4}=0$. Dit kunnen we herschrijven als $\left(y+\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)=0$, dus $y=-\frac{1}{2}$ of $y=\frac{5}{2}$. Omdat de som van de vier elementen 1 moet zijn, kan (op volgorde na) alleen $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
Alles bij elkaar hebben we de volgende viertallen gevonden: $(0,0,0,0),\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)$ en de permutaties hiervan, $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ en $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ en de permutaties hiervan. Controleren laat zien dat al deze viertallen voldoen.