Problem 1600

Розфарбуємо дошку як шахівницю, а разом з нею і многокутник. Проведемо в усіх клітинках дошки, які входять до складу многокутника, діагоналі, тим самим розбивши кожну з цих клітинок на чотири рівнобедрених прямокутних трикутнички з одиничною гіпотенузою. Оскільки многокутник утворено з додоміно, то кількість чорних клітинок в його складі дорівнює кількості білих, а тому кількість чорних трикутничків дорівнює кількості білих. Усі трикутнички, гіпотенуза яких не входить до складу межі многокутника, розбиваються на пари тих, що мають спільну гіпотенузу. Очевидно, що кожна така пара складається з чорного та білого трикутничка, отже, кількість чорних трикутничків у парах дорівнює кількості білих трикутничків у парах. Тому серед трикутничків, які не мають пари, тобто — прилягають до межі многокутника, — кількість чорних дорівнює кількості білих. Легко бачити, що уздовж кожної сторони многокутника білі й чорні трикутнички, що прилягають до неї, чергуються. Якщо така сторона має непарну довжину, то прилеглих до неї трикутничків одного кольору на $1$ більше, ніж другого. Якщо дві сторони непарної довжини є суміжними, то внаслідок шахового розфарбування крайні трикутнички, прилеглі до них, будуть одного кольору. Якщо припустити, що в многокутника є не більше від одної сторони парної довжини, то всі його $N$ сторін непарної довжини виявляться послідовно суміжними, отже, трикутничків одного кольору буде рівно на $N$ більше, аніж іншого (при цьому, зрозуміло, $N \ge 1$). Ця суперечність доводить, що серед сторін нашого многокутника знайдуться дві такі, що мають парну довжину. Приклад прямокутника розміром $1 \times 4010$ показує, що їх може бути рівно дві.