Problem 1792

Solution:

Die kleinste Zahl $n$ mit dieser Eigenschaft ist $4025$.

Wir zeigen zunächst $n \geq 4025$. Dazu wählen wir $d=4025$ sowie $a_{1}=\ldots=a_{4025}=\frac{2013}{4025}>\frac{1}{2}$. Dann ist $a_{1}+\ldots+a_{4025}=2013$ und wegen $a_{i}+a_{j}=\frac{4026}{4025}>1$ für alle $1 \leq i \neq j \leq 4025$ werden hier $4025$ Teilmengen benötigt.

Nun zeigen wir $n \leq 4025$. Dazu führen wir eine Fallunterscheidung nach $d$ durch.

Für $d \leq 4025$ erhält jedes $a_{i}$ seine eigene Teilmenge. Damit sind alle Teilmengen, von denen einige leer sein dürfen, disjunkt und haben Elementsummen von höchstens $1$.

Für $d>4025$ müssen zwei Zahlen $a_{x}$ und $a_{y}$ existieren mit $a_{x}+a_{y} \leq 1$. Andernfalls wäre schon in der Summe $\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(a_{3}+a_{4}\right)+\ldots+\left(a_{4025}+a_{4026}\right)$ jede Klammer größer als $1$ und die Summe aller $a_{i}$ größer als $2013$, Widerspruch! Somit können wir $a_{x}$ und $a_{y}$ durch $a_{z}=a_{x}+a_{y}$ ersetzen und erhalten eine Menge mit $d-1$ Elementen, die alle Bedingungen erfüllt. Dieser Schritt kann wiederholt werden, bis die Ersetzung eine Menge mit $4025$ Elementen liefert. Für diese und damit auch für die Ausgangsmenge existiert die gewünschte Aufteilung. Damit ist alles gezeigt.