Track / Stage 6 / 326 of 400 #1806 of 2444

Problem 1806

National Olympiad, first round

Geometry Difficulty 6.7 Prove it Russia — Regional Round · Russia

Points $B$ and $D$ lie on a circle $\omega$ . The tangent lines to $\omega$ at $B$

and $D$ intersect at $P$ . A line passing through $P$ intersects $\omega$ at $A$ and $C$ . Let $\ell$ be an arbitrary line parallel to $BD$ and intersecting the polygonal lines $ABC$ and $ADC$ . Prove that $\ell$ divides the lengths of these polygonal lines at the same ratio. (L. Emelyanov)

Прямые, касающиеся окружности $\omega$ в точках $B$ и $D$ , пересекаются в точке $P$ . Прямая, проходящая через $P$ , высекает на окружности хорду $AC$ . Через произвольную точку отрезка $AC$ проведена прямая, параллельная $BD$ . Докажите, что она делит длины ломаных $ABC$ и $ADC$ в одинаковых отношениях.

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Треугольники $PBA$ и $PCB$ подобны, так как $\angle BPC$ — общий,
а $\angle PBA = \angle PCB = \frac{1}{2} \overline{AB}$ . Значит, $\frac{BA}{BC} = \frac{PB}{PC}$ . Аналогично, из подобия треугольников $PDA$ и $PCD$ следует, что $\frac{DA}{DC} = \frac{PD}{PC}$ .
Так как $PB = PD$ , то $\frac{BA}{BC} = \frac{DA}{DC}$ , или $\frac{AB}{AD} = \frac{CB}{CD}$ ; заметим, что тогда и $\frac{AB + CB}{AD + CD} = \frac{AB}{AD} = \frac{CB}{CD}$ .

Обозначим через $Q$ точку пересечения отрезков $AC$ и $BD$ , а через $T$ — произвольную точку на отрезке $AC$ . Пусть для определенности $T$ лежит на отрезке $QC$ , а прямая, проходящая через $T$ параллельно $BD$ , пересекает $CB$ и $CD$ в точках $B'$ и $D'$ , соответственно. Тогда по теореме Фалеса $\frac{CB'}{CD'} =$
$= \frac{CB}{CD} = \frac{AB + CB}{AD + CD}, \text{ или } \frac{CB'}{AB + CB} = \frac{CD'}{AD + CD}, \text{ что и требовалось.}$

Если же точка $T$ лежит на отрезке $AQ$ , то аналогично рассматриваются отрезки, высекаемые на сторонах $AB$ и $AD$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.