Track / Stage 4 / 3 of 340 #263 of 2000

Problem 263

AMC 12 late, AIME early

Geometry Difficulty 4.0 Find the answer Italian Mathematical Olympiad - February Round · Italy

Problem:

Di un triangolo di vertici $A, B, C$ sappiamo che $AB = 5$ , $BC = 4$ e $AC = AM$ , dove $M$ è il punto medio del lato $BC$ . Quanto vale la lunghezza del lato $AC$ ?

(A) 4
(B) $\sqrt{17}$
(C) $3\sqrt{2}$
(D) $2\sqrt{5}$
(E) $\sqrt{21}$

Your answer

Official solution

Solution:

La risposta è $\mathbf{(B)}$ .

Poiché $M$ è punto medio otteniamo che $BM = MC = 2$ . Sia $H$ il punto medio di $MC$ , e in particolare $MH = HC = 1$ ; dato che il triangolo $AMC$ è isoscele su base $MC$ , $H$ è anche il piede dell'altezza e perciò l'angolo $\angle AHB$ è retto.

Dunque il triangolo $ABH$ è rettangolo, con ipotenusa $AB$ lunga $5$ e cateto $BH$ lungo $3$ ; ne consegue che $AH = 4$ . Infine $AC$ è ipotenusa del triangolo $AHC$ , perciò
$AC = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.