CombinatoricsDifficulty 3.5Prove itBrazilian Mathematical Olympiad, Nível 2 · Brazil
Problem: Num torneio de tênis cada jogador passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização do torneio decide quais rodadas determinados jogadores devem jogar. Por exemplo, um cabeça de chave pode, a critério dos organizadores, entrar na segunda rodada, ou passar da primeira para a terceira, de modo que o total de jogadores que participem de cada rodada seja par.
a. Considere um torneio de tênis com 64 jogadores. Quantas partidas são disputadas?
b. E em um torneio com 2011 jogadores?
This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark
yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.
Official solution
Solution:
a. Na primeira rodada são realizadas 32 partidas, das quais 32 jogadores passam para a fase seguinte. Depois são realizadas 16 partidas, classificando 16 para a rodada seguinte e assim por diante. Assim, o número de partidas do torneio é 32+16+8+4+2+1=63
b. Como em cada partida um jogador é eliminado, então o número de partidas é igual ao número de jogadores eliminados, isto é, 2011−1=2010.
Source: MathNet,
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