Problem 618

Оскільки $f'(x) = 3x^2 - 6ab$, то при $ab \le 0$ функція $f$ строго зростає на всій числовій прямій, набуває, очевидно, і від’ємних, і додатних значень, а тому твердження задачі справджується.

Якщо $a > 0$ і $b > 0$, то точками локального екстремуму будуть $x = \pm\sqrt{2ab}$, причому $f(\pm\sqrt{2ab}) = - (\sqrt{2a^3} \mp \sqrt{4b^3})^2 \le 0$. Рівність в останній нерівності досягатися, як легко помітити, не може через ірраціональність числа $\sqrt{2}$. Отже, в обох точках екстремуму кубічний многочлен набуває від’ємних значень, а тому, зрозуміло, його графік має з віссю $Ox$ єдину спільну точку.

Аналогічно розглядається випадок, коли $a < 0$ і $b < 0$.