Track / Stage 3 / 197 of 260 #197 of 2000

Problem 197

AMC 10/12, early questions

Combinatorics Difficulty 3.7 Find the answer 67. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije, Državno tekmovanje · Slovenia

Problem:

Na matematičnem tekmovanju so tekmovalci reševali 3 naloge. Prvo nalogo je pravilno rešilo $90 \%$ tekmovalcev, drugo $80 \%$ in tretjo $70 \%$ tekmovalcev. Najmanj koliko odstotkov tekmovalcev je pravilno rešilo vse tri naloge?
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 50
(E) 70

Your answer

Official solution

Solution:

Denimo, da je na tekmovanju sodelovalo $n$ tekmovalcev. Če sta $A$ in $B$ dve množici tekmovalcev, potem je $n \geq |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ oziroma $|A \cap B| \geq |A| + |B| - n$ . Ker je prvo nalogo pravilno rešilo $\frac{9}{10} n$ tekmovalcev, drugo nalogo pa $\frac{8}{10} n$ tekmovalcev, je po zgornji oceni prvi dve nalogi pravilno rešilo vsaj $\frac{9}{10} n + \frac{8}{10} n - n = \frac{7}{10} n$ tekmovalcev, vse tri naloge pa je pravilno rešilo vsaj $\frac{7}{10} n + \frac{7}{10} n - n = \frac{4}{10} n$ tekmovalcev, kar je $40 \%$ tekmovalcev.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.