Track / Stage 3 / 258 of 260 #258 of 2000

Problem 258

AMC 10/12, early questions

Combinatorics Difficulty 4.0 Find the answer Progetto Olimpiadi di Matematica - GARA di SECONDO LIVELLO · Italy

Problem:
Consideriamo le quattro affermazioni seguenti:
Manuela ha un cane e un gatto.
Manuela non ha né un cane né un gatto.
Se Manuela ha un cane, allora ha anche un gatto.
Manuela non ha un cane, ma ha un gatto.
Quante di esse, al massimo, possono essere false contemporaneamente?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4 .

Your answer

Official solution

Solution:
La risposta è (E). Le affermazioni "Manuela ha un cane e un gatto", "Manuela non ha né un cane né un gatto" e "Manuela non ha un cane, ma ha un gatto" sono tra loro incompatibili. L'affermazione "Se Manuela ha un cane, allora ha anche un gatto" è vera esattamente quando una (ed una sola) delle altre tre affermazioni è vera; perciò è falsa, insieme con le altre tre, esattamente quando "Manuela ha un cane, ma non ha un gatto". Dunque il numero massimo di affermazioni false è 4.

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