Problem 181

Solution:
Notemos que um número natural menor do que $10000$ pode ser representado por exatamente quatro algarismos escolhidos em $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, possivelmente com repetições. Assim, temos quatro posições para serem preenchidas com esses algarismos. Por exemplo, o número $12$ seria representado por $0012$, isto é, o algarismo $0$ foi escolhido para preencher a primeira e a segunda posição, o algarismo $1$ foi escolhido para a terceira e o algarismo $2$ foi escolhido para a quarta.

Os números da lista de Pedro devem conter, obrigatoriamente, os dígitos $1$ e $2$. Assim, para formar um número da lista de Pedro podemos seguir o seguinte procedimento:

1. Escolhemos a posição do algarismo $1$ dentre as quatro possíveis.
2. Escolhemos a posição do algarismo $2$ dentre as três que restam.
3. Preenchemos cada uma das duas posições restantes com um dos oito algarismos escolhidos no conjunto $\{0,3,4,5,6,7,8,9\}$, podendo haver repetição.

Note que qualquer número da lista de Pedro é obtido desse modo e, para que dois procedimentos resultem no mesmo número, é necessário que as escolhas em cada passo coincidam. Logo, para contar a quantidade de números presentes na lista, basta contar a quantidade de escolhas possíveis nesse procedimento.

Para o primeiro passo do procedimento temos quatro escolhas. Fixada uma escolha para o primeiro passo, temos três escolhas para o segundo passo. Fixadas as escolhas para os primeiro e segundo passos, para o último passo teremos $8 \times 8$ alternativas, já que temos oito algarismos para escolher para cada uma das posições e pode haver repetição. No total teremos $4 \times 3 \times 8 \times 8 = 768$ formas de realizar o procedimento e, portanto, a lista de Pedro tem $768$ números.